VIVER E APRENDER

CONE

Os cones são semelhantes as pirâmides só que possuem á base circular.

Seja com um plano, um ponto V não pertencente ao plano, e um círculo contido neste plano. Chama-se cone circular a união de todos os seguimentos de reta com uma extremidade nesse ponto V e outra no círculo. V é o vértice do cone; a distância h do vértice ao plano da base é a altura do cone.

Qualquer segmento com uma extremidade em V e a outra na circunferência da base é chamada geratriz.

Quando a projeção do vértice sobre a base, é o centro da base o cone é reto. H é a altura, R é o raio da base, g é a geratriz do cone. Ao seccionar um cone reto por um plano que contêm o seu eixo formamos um triângulo isóceros. Essa secção é conhecida por secção meridiana. Se a secção meridiana for um triângulo equilátero, isto é, a geratriz igual ao diâmetro da base g = 2R temos um cone equilátero.

Área e volume

A área da base é igual á  πR². A superfície lateral de um cone é equivalente a de um setor circular de raio g cujo o arco tem comprimento 2πR, como 2πR está para área lateral deste setor circular, assim como 2πg, esta para πg² que é a area de um circulo de raio g resulta para a area lateral π, R, g.

Comprimento do arco                     Área do setor
    2πg         ----------------------          πg²
    2πr         -------------------------     A_lateral

Sendo assim, para encontrarmos a área total, basta somarmos as duas áreas.

                       A área total é a soma da área da base com a área lateral. πR² mais πRg.

Como todo cone é  equivalente a uma pirâmide de base equivalente á do cone e de mesma altura do cone, temos que, o volume é igual a um terço da área da base vezes a altura.

Vamos colocar isto em prática.

1)Dado um cone com o volume de 56,52in ³ e altura de 6 pol. Encontre o raio da base desse cone. Tome π como 3,14.

Agora, dispomos de 6,28 r ² = 56,52 . Para obter um passo mais perto de encontrar r , precisamos remover 6,28 dividindo ambos os lados da equação, com 6,28 . Isto é mostrado abaixo:

Agora, temos r ² = 9 . Desde r quadrado é uma multiplicação de r  duas vezes, podemos encontrar r , tomando a raiz quadrada de 9. Isto é mostrado abaixo:

Agora, o número calculado de 3, não tem significado até que incluem o aparelho para ele. Como o volume de unidade de polegada ³ , r  será em polegadas. Assim:

r = 3, em

Obs: A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone.
Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida da geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos uma relação notável no cone: g²=h²+r².

A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

A(lateral) = π.r.g

A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

A(total) = π.r.g +π .r² = π.r.(g+r)

 PLANIFICAÇÕES DE UM CONE

                                          

                              Exercícios

1)No cone reto a seguir, a geratriz (g) mede 20 cm e a altura mede 16 cm. Determine seu volume. 

Precisamos calcular a medida do raio da base, e para isso utilizaremos o teorema de Pitágoras. Observe:

2)Um cone possui raio da base medindo 4 cm e altura igual a 10 cm. Determine a altura de um líquido que ocupa nesse cone o volume de 100 cm³.

3)Um cone possui diâmetro da base medindo 24 cm, geratriz 20 cm e altura igual a 16 cm. Determine sua área total e seu volume.

Área total

A = π * r * (g + r)

            A = 3,14 * 12 * (20 + 12)

  A = 3,14 * 12 * 32 

A = 1 205,76 cm²

Volume